Chaos&Fraktale
Ausgehend von berechneten Bahnen, die geworfene Körper oder Satelliten im Gravitationsfeld der Erde ausführen, sollen schrittweise "chaotische" Prozesse besprochen werden. Den Schluss bilden eine Reihe von Beispielen von geometrischen Fraktalen...
- Wurfbahnen - Aus der Bewegungsgleichung F = m.a soll die Bahn eines Körpers Punkt für Punkt berechnet und dargestellt werden. Zur Darstellung eignen sich programmierbare, grafikfähige Taschenrechner genau so wie Programmiersprachen auf einem PC.
Wurf- und Satellitenbahnen werden punktweise berechnet. Der weitere Verlauf der Bahn lässt sich mit großer Sicherheit vorhersagen.
- Differenzengleichungen eignen sich gut zur Beschreibung von Wachstumsprozessen. Die Verhulst-Dynamik zeigt den Übergang zum Chaos...
Hier werden Differenzengleichungen entweder mit Hilfe des Computer-Algebra-Systems DERIVE oder mit Hilfe des programmierbaren, grafikfähigen Taschenrechners TI-85 untersucht.
- Turing-Maschinen sind Automaten, deren Verhalten durch das Auslesen von Informationen bestimmt wird. Hier besprechen wir das Verhalten von so genannten Langton-Ameisen, deren Bahnen chaotisch erscheinen...
- Das logistische Wachstum (Verhulst-Dynamik) zeigt den Übergang zum Chaos, bzw. die so genannte "Periodenverdopplung".
- Die Mandelbrot-Menge und die Julia-Menge sind wohl bekannte Fraktale, seitdem PC Grafiken darstellen können. Sie entstehen, wenn das Verhalten komplexer Zahlen unter definierten Rekursionen untersucht werden.
- Rekursive Prozeduren erzeugen so genannte selbstähnliche Gebilde. Eine ganze Fülle von Beispielen kann mit Programmiersprachen realisiert werden - hier werden etwa die Kochkurve, Hilbert- und Sierpinsky-Kurven, fraktale Bäume und Farne, Sierpinsky-Dreieck und Menger-Teppich behandelt. Die Prozeduren sind mit Delphi realisiert.
- Mit Hilfe von Mathematica werden die Differenzialgleichungen gelöst, die für die Bewegung eines Magnetpendels aufgestellt werden. Dabei lässt sich leicht nachprüfen, dass schon geringste Änderungen der Anfangsbedingungen völlig verschiedene Bahnkurven ergeben können.