Einfache Differenzengleichungen

Wir behandeln Rekursionsgleichungen der Form

x(n+1) = a.x(n) + b; x0

Eine derartige Gleichung heißt lineare Differenzengleichun 1. Ordnung mit dem Startwert (der Anfangsbedingung) x0. Die Namensgebung erklärt sich aus der folgenden Umformung:

x(n+1) - x(n) = (a-1).x(n) + b

Man sieht: Die Differenz x(n+1) - x(n) ist eine lineare Funktion von x(n).

Mit einem programmierbaren Taschenrechner lassen sich solche Funktionen schnell darstellen. Wir verwenden dazu etwa das folgende Programm:

:ClLCD :AxesOn :ClDrw :Prompt X0, A, B, N, yMax :0->xMin :N->xMax :0->yMin :X0->XS :For(X,1,N) :XS->X0 :A*X0+B->XS :Line(X-1,X0,X,XS) :End
Für diese Werte der Startbedingung x0, der Koeffizienten a und b, sowie die Anzahl n der Iterationen und dem Wert yMax für die Darstellung erhalten wir den unten dargestellten Funktionsgraphen.	Wir erkennen: Die Werte entfernen sich vom Startwert ("repulsive Funktion").
Für andere Eingaben erhalten eine Funktion, deren Werte einem Grenzwert zustreben...	Der Grenzwert wird "Attraktor" genannt

Systeme von Differenzengleichungen

Diese treten bei komplexeren Problemen auf. Geht es darum, das Langzeitverhalten zweier Variable zu beschreiben, muss man ein System von zwei Gleichungen anschreiben:

x(n+1) = ax.x(n) + bx.y(n); x0
y(n+1) = ay.x(n) + by.y(n); y0

Die Koeffizienten ax, bx, ay und by sind in diesem Fall konstant.

Auch für diesen Fall kann ein (kurzes) TI-85 Programm angegeben werden:

:ClLCD :ClDrw :AxesOn :0->xMin :0->yMin :Prompt X0,Y0,AX,BX,AY,BY,N,yMax :N->xMax :X0->XS :Y0->YS :For(X,1,N) :XS->X0 :YS->Y0 :AX*X0+BX*Y0->XS :AY*X0+BY*Y0->YS :Line(X-1,X0,X,XS) :Line(X-1,Y0,X,YS) :End
Für die Startwerte x0=20 und y0=40 erhalten wir für das System x(n+1) = 0,6.x(n) + 0,3.y(n) y(n+1) = 0,4.x(n) + 0,7.y(n) folgende Ergebnisse:	An Hand der Funktionsgraphen kann das Langzeitverhalten des Systems leicht abgelesen werden	Möchte man Zahlenwerte erhalten, verwendet man die Pfeiltasten im Graphik-Modus (<TRACE>).

Komplizierte Fragestellungen (etwa Wachstumsprozesse) können beispielsweise durch das "Verhulst-Modell" beschrieben werden.

Die Wachstumsfunktion x(t+1) = k.x(t)

Wir betrachten die Vermehrung einer Tierpopulation: Die Zahl der Tiere im Jahr t+1 ist der Zahl der Tiere des Vorjahres t proportional. Damit lässt sich sich folgende exponentielle Gleichung angeben:

k ... Vermehrungsrate (hängt z.B. vom Nahrungsangebot ab)
x(0) ... Zahl der Tiere zu Beginn
x(1) ... Zahl der Tiere nach einem Jahr
x(t) ... Zahl der Tiere zum Zeitpunkt t

x(t+1) = k.x(t)
x(1) = k.x(0)
x(2) = k.x(1) = k.k.x(0) = k².x(0)
x(3) = k.x(2) = k.k².x(0) = k³.x(0)
...
x(t) = k^n.x(0)

Ein solcher exponentieller Zusammenhang lässt sich für zahlreiche Wachstums- oder Zerfallsprozesse (z.B. radioaktiver Zerfall) angeben. Ein exponentielles Anwachsen der Tierpopulation ist aber nur bei beliebig viel Nahrungsangebot und beliebig viel Platz möglich. Da dies in der Natur nicht zutrifft, muss für obige Gleichung ein Korrekturterm mit negativem Vorzeichen berücksichtigt werden, der die Tierpopulation im Folgejahr verringert:

Logistische Gleichung (Verhulst-Dynamik)

k ... Vermehrungsrate
r ... Reduktionsrate (Krankheitsepidemien, Nahrungsmangel, ...)
x(t) ... Zahl der Tiere zum Zeitpunkt t
x(t+1) ... Zahl der Tiere zum darauffolgenden Zeitpunkt t+1

Wir erhalten die Gleichung x(t+1) = k.x(t) - r.x(t)²

Ist die Zahl der Tiere x(t) klein, so ist der Korrekturterm -r.x(t)² so klein, dass er weggelassen werden kann. Die Zunahme der Tiere erfolgt dann exponentiell. Bei großer Zahl der Tiere führt der Korrekturterm zu einer Abnahme der Tiere (z.B. Seuchen).

Bifurkationsdiagramm

Die logistische Gleichung kann in der Form f(x) = a.x.(1-x) geschrieben werden, wobei a einen Wert zwischen 1 und 4 annimmt. Diese Funktionsgleichung wird zunächst mit dem [GRAPH]-Menü als Funktion y1 eingetragen:

Zu beachten ist auf jeden Fall, dass die Funktion zur graphischen Darstellung nicht selektiert ist.